Od 1939 r. pełnił posługę duszpasterską w sanktuarium maryjnym w Żyrowicach k. Słonima na Polesiu. Był też kapelanem w klasztorze sióstr niepokalanek w Słonimiu oraz w miejscowym szpitalu. Gdy w czerwcu 1941 r. Niemcy zajęli Polesie, rozpoczęli brutalnie represjonować ludność żydowską. Dnia 14 lipca 1942 r. okupanci przeprowadzili obławę na przywódców gminy, mordując około tysiąc osób. Ks. Adam Sztark niejednokrotnie wzywał z ambony do niesienia pomocy Żydom. Prowadził wśród parafian zbiórki pieniędzy i kosztowności, które służyły ich ratowaniu. Wystawiał im też fikcyjne świadectwa chrztu. Kiedy 29 czerwca 1942 r. Niemcy rozpoczęli akcję likwidowania dzielnicy żydowskiej, podpalając domy i strzelając do uciekających z nich ludzi, ks. Adam odważnie krążył po ulicach miasta i odprowadzał na plebanię błąkające się, często osierocone dzieci. Później oddawał je pod opiekę sióstr niepokalanek lub polskich rodzin. W tym czasie na jego trop wpadli Niemcy, ale podczas obławy udało mu się uciec. W grudniu 1942 r. nazwisko ks. Adama znalazło się na niemieckiej liście skazanych na śmierć za pomoc Żydom i potajemne udzielanie sakramentów w słonimskim więzieniu. Ksiądz, mimo że wiedział o wydanym wyroku, nie chciał uciekać z miasta. Dnia 17 grudnia 1942 r. został aresztowany. Następnego dnia gestapowcy przyjechali do domu sióstr niepokalanek, gdzie odkrywszy na strychu żydowskie dzieci, aresztowali ich opiekunki: s. Martę Kazimierę Wołowską i s. Ewę Bogumiłę Noiszewską. Wszyscy zostali rozstrzelani 19 grudnia 1942 r. na Górce Pietrowickiej k. Słonimia wraz z grupą Polaków oskarżonych m.in. o ukrywanie ludności żydowskiej.
